证明两个有理数之间必存在一个无理数

〖A〗 、两个有理数之间一定存在一个无理数，且存在无数个无理数。首先 ，明确有理数和无理数的定义是理解这一结论的基础 。有理数是可表示为两个整数之比的数，其小数形式为有限小数或无限循环小数；无理数则无法表示为整数之比
，其小数展开为无限不循环小数，例如√π等。

〖B〗、如下：其实两个有理数之间存在无数个无理数 ，要证明至少存在一个无理数可以直接构造
。首先考虑简单的情形
，0和1都是整数，当然都是有理数 ，0和1之间存在无数个无理数
，随便列举若干：当n是正整数且n不是完全平方数时，1/√n是0和1之间的无理数 ，π/4是0和1之间的无理数。

〖C〗
、就是无限不循环的无理数 。所以a、b之间总有有理数和无理数
。理解了处处稠密以后
，回答楼主的问题就很简单了。用反证法，假设a 、b之间只有一个无理数c ，那么c
、b之间（不包括c）肯定没有无理数
，这和处处稠密矛盾，所以不可能只有一个无理数 。

〖D〗、相对于证明无理数处处稠密
。设a为任意有理数 ，则 “a + 根号2 ” 为无理数，即由有理数处处稠密立即得出无理数也处处稠密
，证毕。几千年前，那时我们的祖先还没有数的概念 ，他们只能观察出数量的多少 。

两个有理数之间一定存在一个无理数吗?

〖A〗 、两个有理数之间一定存在一个无理数
，且存在无数个无理数
。首先，明确有理数和无理数的定义是理解这一结论的基础。有理数是可表示为两个整数之比的数 ，其小数形式为有限小数或无限循环小数；无理数则无法表示为整数之比
，其小数展开为无限不循环小数，例如√π等 。

〖B〗
、确实是这样的 ，数轴上
，任何两个有理数间，都有无理数的存在
。假设有两个有理数x1 ，x2
，x1 x2。

〖C〗、就是无限不循环的无理数 。所以a 、b之间总有有理数和无理数。理解了处处稠密以后，回答楼主的问题就很简单了
。用反证法 ，假设a
、b之间只有一个无理数c，那么c、b之间（不包括c）肯定没有无理数
，这和处处稠密矛盾，所以不可能只有一个无理数。

〖D〗 、如下：其实两个有理数之间存在无数个无理数 ，要证明至少存在一个无理数可以直接构造 。首先考虑简单的情形
，0和1都是整数，当然都是有理数 ，0和1之间存在无数个无理数
，随便列举若干：当n是正整数且n不是完全平方数时，1/√n是0和1之间的无理数 ，π/4是0和1之间的无理数
。

〖E〗
、性质有理数在数轴上
，有理数是稠密的，即在任何两个有理数之间都存在着无穷多个有理数。有理数的加、减 、乘、除（除数不为$0$）运算结果仍然是有理数 ，满足封闭性 。无理数无理数在数轴上也是稠密的
，任意两个无理数之间也存在无穷多个无理数
。两个无理数的和
、差、积 、商不一定是无理数。

如何证明两个实数间一定存在无理数?

相对于证明无理数处处稠密 。设a为任意有理数，则 “a + 根号2” 为无理数 ，即由有理数处处稠密立即得出无理数也处处稠密，证毕
。几千年前
，那时我们的祖先还没有数的概念，他们只能观察出数量的多少。

两个有理数之间一定存在一个无理数 ，且存在无数个无理数 。首先
，明确有理数和无理数的定义是理解这一结论的基础
。有理数是可表示为两个整数之比的数，其小数形式为有限小数或无限循环小数；无理数则无法表示为整数之比 ，其小数展开为无限不循环小数
，例如√π等。

若$c$为无理数，则令$x = c$ ，满足条件 。若$c$为有理数
，令$x = frac{a}{sqrt{2}} + frac{c}{1 - sqrt{2}}$。类似情况二的推导，$x$为无理数 ，且通过调整系数可保证$xin（a
，c）subseteq（a，b）$
。综上 ，任意两个实数之间必存在无理数。

如何证明任意两个有理数之间一定存在无理数

〖A〗
、为证明两个有理数之间存在无理数，可采用构造法 。设任意两个有理数a和b
，且a b
。考虑数轴上a与b之间的“间隔
”为b - a（正有理数）。根据实数系的完备性，可找到一个正整数N ，使得1/N b - a
，即N（b - a） 1 。

〖B〗、如下：其实两个有理数之间存在无数个无理数，要证明至少存在一个无理数可以直接构造
。首先考虑简单的情形 ，0和1都是整数
，当然都是有理数，0和1之间存在无数个无理数 ，随便列举若干：当n是正整数且n不是完全平方数时
，1/√n是0和1之间的无理数，π/4是0和1之间的无理数。

〖C〗 、相对于证明无理数处处稠密 。设a为任意有理数 ，则 “a + 根号2” 为无理数
，即由有理数处处稠密立即得出无理数也处处稠密，证毕
。几千年前 ，那时我们的祖先还没有数的概念，他们只能观察出数量的多少。